Le lapin et le camion

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Le lapin et le camion

Messagepar Nina sur Ven 18 Sep 2009, 18:15

Bonjour, j'ai un Dm à faire et j'ai du mal !!!

Je vous donne l'énnoncé:
Un lapin désire traverser une route de 4 mètres de largeur. Un camion, occupant toute la route, arrive à sa rencontre à la vitesse de 60km/h. Le lapin décide au dernier moment de traverser, alors que le camion n'est plus qu'à 7 mètres de lui. Son démarrage est foudroyant et on suppose qu'il effectue la traversée en ligne droite au maximum de ses possibilités, c'est à dire 30km/h !

L'avant du camion est représenté par le segment [CC'] sur le schéma ci-dessous. Le lapin part du point A en direction de D
Cette direction est repérée par l'angle O(téta) = BAD avec 0=< O <pi/2 (en radians)

1°) Déterminer les distances AD et CD en fonction de Téta et les temps t1 et t2 mis par le lapin et le camion pour parcourir respectivement les distances AD et CD.

2°)
On pose f(O)=7/2 + 2tanO - 4/(cos O)
Montrez que le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si f(O) > 0

3°) Conclure

Pour la question 1°) j'ai trouver : AD= 4/ cosO CD= 4tan+7 = 7/2 +2tan (en heure) t2= AD/30 t1=CD/60 (je pense que j'ai juste ! )

pour la question 2°)
Je veux étudier ma fonction. J'ai calculer sa dérivée:
f(O)=1/cos O ( ( 7cos O)/2 +2sin O -4)
f'(O)=(-sin²O) / (cos²x) + (sin O+cos O) / (cos²O)
Je ne vois pas comment je peux étudier le signe avec ça !!!


Sa limite
lim( 1 / cos O) = 0
lim(7cosO/2) =7/2
lim (2sin O) =2
lim (-4) =-4
lim f(O)= 0 (par somme puis par produit)

Son tableau de variation ????

je crois que je dois également résoudre l'inéquation mais je ne vois pas du tout comment ..... Quant à la question trois je ne vois pas quoi conclure, et comment je dois utiliser mes résultat de la question 1°) (c'est à dire t1 et t2)

Merci plus que tout pour votre aide, j'ai essayer de réflechir de mettre les équations sous d'autres formes mais je bloque ... Aidez moi s'il vous plait et donnez moi des pistes de raisonnement pour la question 3°)
Merci de votre aide d'avance. Cordialement.
Nina
 

Re: Etude d'une fonction (DM)

Messagepar Modérateur 4 sur Ven 18 Sep 2009, 20:57

Bonjour.
Je vois que tu as déjà fourni un bon travail de recherche. C'est bien mais dans la question 2, il ne s'agit pas d'étudier la fonction avec les outils classiques ( dérivée, tableau de variation ....) mais d'expliquer quel est le lien entre la fonction f(ϑ) et le lapin !!

Tout d'abord il y a deux légères fautes dans ta réponse à la question 1 :
CD = 7+4Tan(ϑ) est bon mais = 7/2 +2 Tan(ϑ) est faux. Pourquoi as-tu divisé par 2 ?

Tu as confondu t1 et t2.

Maintenant voyons l'histoire du lapin et de la fonction f(ϑ) :
Le lapin pourra traverser la route avant le camion à condition que le temps mis t1 soit inférieur à celui du camion t2, sinon c'est le camion qui arrive en D avant le lapin.
Que signifie t1<t2 ?
En fait on peut passer le t1 de l'autre côté (transposition ) et cela donne t2-t1>0.
On remplace par les valeurs calculées en 1) : t1= AD/30 t2=CD/60 et CD= 4tan(ϑ)+7 et AD= 4/cos(ϑ)
d'où t1=4/(30cos(ϑ))
et t2=(4tan(ϑ)+7)/60
ainsi tu n'as plus qu'à les soustraire car on veut t2-t1>0.

Finalement, lorsque tu réduits l'écriture tu obtiens presque f(ϑ) à un dénominateur 30 près. Il suffit finalement de multiplier par 30 les membres
Ceci donne f(ϑ)>0.
DOnc le lapin peut traverser lorsque t1<t2 c'est à dire lorsque f(ϑ)>0.

Pour la question 3, il faut maintenant calculer les valeurs de ϑ pour lesquelles f(ϑ)>0.
Je connais une technique de calcul mais je ne sais pas si elle fait partie de ton cours :
As-tu étudié les équations du genre acos(ϑ)+bsin(ϑ)=c d'inconnue ϑ ?
Si oui alors on peut continuer :
La fonction f(ϑ) peut s'écrire avec cos(ϑ) en dénominateur commun :7 cos(ϑ)/2cos(ϑ) +2 sinϑ/cosϑ-4/cosϑ
Pour que f(ϑ) soit égal à 0, il faut donc (7/2)cos(ϑ) +2 sinϑ-4=0
Ceci s'écrit 7cos(ϑ) +4 sinϑ=8. Et c'est ici que la leçon sur les équation du genre acos(ϑ)+bsin(ϑ)=c intervient.
Pour info, le résumé de la méthode est :
Si a et b sont non nuls, on divise les deux membres par A = .
On obtient :

Or, on peut poser a/A = cos(t) et b/B = sin(t) ( car la somme de leur carré est égale à 1 ). Donc, l'équation devient :
cos(x - t ) = c/A.
Si |c/A| > 1 pas de solution.
Si |c/A| < 1 c/A = cos(V) et on se ramène à cos(U) = cos(V) et tu auras deux solutions.


Ainsi, le test |c/A| < 1 permet de savoir si cette fastidieuse méthode vaut la peine : Dans ton exercice c/A = est inférieur à 1 donc il y a deux solutions pour f(ϑ)=0
Pour info, je trouve les solutions ϑ1= environ 0,39 radians ( environ 22° )
et ϑ2= environ 0,64 radians ( environ 37°)
La fonction f(ϑ) étant continue sur l'intervalle [0;pi/2[, il suffit de tester sa valeur entre les deux solutions ϑ1 et ϑ2 de f(ϑ)=0 pour savoir quand est-ce qu'elle est positive ou négative.
On trouve f(ϑ)>0 pour ϑ compris entre ϑ1 et ϑ2.
Pour conclure, le lapin doit démarrer sa trajectoire avec un angle compris entre ϑ1 et ϑ2 pour être sain et sauf.


J'espère que cela t'aidera.
Modérateur 4
 
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Re: Etude d'une fonction (DM)

Messagepar jorius sur Ven 18 Sep 2009, 22:28

bonjour, j'ai le meme dm et je ne comprends pas votre demarche pour la question 2.
Je ne comprends pas tout d'abord pourquoi pour le calcul de t1 et t2 il ne faut pas convertir les vitesses en m/s comme les distances calcules avant sont en metres.
pour ma part en faisant le calcul avec les m/s je trouve t1= 12/25cos O puis pour t2=(6/25)tan O + 0,42.
Est ce juste ?
pour ce qui est de l'inéquation t1>t2 <=> t1-t2>0 je n'arrive pas a obtenir unee forme claire avec mes resultats. Pouvez vous m'aider ? merci d'avance. Cordialement
jorius
 

Re: Etude d'une fonction (DM)

Messagepar Invité sur Ven 18 Sep 2009, 22:42

Bonjour, tout d'abord, merci plus que tout pour votre aide mais je me suis rendu compte que dans ma question un je ne me suis pas préoccupée des unités. Devrais-je multiplier le 4 et le 7 de AD et CD par 10^-3 pour convertir en km ? Cela expliquerais peut êter la différence quand on calcul t2-t1 ?

J'ai voulu utiliser les outils traditionels car notre professeur, nous a dit, en aide, de faire comme cela. D'étudier le signe de la dérivée et de conclure si c'était positif ou négatif ...et de voir les limites ... Ensuite pour calculer les angles pour lesquels le lapin peut traverser, il fallait que je fasse un tableau de valeur à la calculatrice.

Donc, j'ai essayé de calculer t2-t1 mais je n'y arrive pas du tout =$
voici mon calcul:
( 4tan O +7 / 60 ) - (4 / 30cos O) >0
( 4tan O +7 / 60 * (30cos O) ) - ( 4 / 30cos O*60 ) >0
4tan O * 30cosO +210cos O-240 /1800cos O >0
30 cos O (4 tan +7 cos O) -240 / (30 cos O ) *600> 0
(4 tan +7 cos O) -240 / 600> 0
Merci pour la méthode, j'espère qu'elle me servira et que je la comprendrai, car j'adore les maths et je regrette de n'avoir qu'une culture mathématiques très limitée.
Je vous remercie d'avance, et encore désolé de mon dérangement.
Invité
 

Re: Etude d'une fonction (DM)

Messagepar Modérateur 2 sur Dim 20 Sep 2009, 10:59

jorius a écrit:bonjour, j'ai le meme dm et je ne comprends pas votre demarche pour la question 2.
Je ne comprends pas tout d'abord pourquoi pour le calcul de t1 et t2 il ne faut pas convertir les vitesses en m/s comme les distances calcules avant sont en metres.
pour ma part en faisant le calcul avec les m/s je trouve t1= 12/25cos O puis pour t2=(6/25)tan O + 0,42.
Est ce juste ?
pour ce qui est de l'inéquation t1>t2 <=> t1-t2>0 je n'arrive pas a obtenir unee forme claire avec mes resultats. Pouvez vous m'aider ? merci d'avance. Cordialement

Bonjour,

oui c'est une bonne méthode que de faire ainsi, tes calculs de t1 et t2 sont justes.

Pour simplifier l'écriture de ton inéquation t2-t1>0, il suffit juste de diviser chaque terme par 6 et tu obtiens .

Bon courage !
Modérateur 2
 
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Re: Etude d'une fonction (DM)

Messagepar Modérateur 2 sur Dim 20 Sep 2009, 11:06

invité a écrit:Bonjour, tout d'abord, merci plus que tout pour votre aide mais je me suis rendu compte que dans ma question un je ne me suis pas préoccupée des unités. Devrais-je multiplier le 4 et le 7 de AD et CD par 10^-3 pour convertir en km ? Cela expliquerais peut êter la différence quand on calcul t2-t1 ?

J'ai voulu utiliser les outils traditionels car notre professeur, nous a dit, en aide, de faire comme cela. D'étudier le signe de la dérivée et de conclure si c'était positif ou négatif ...et de voir les limites ... Ensuite pour calculer les angles pour lesquels le lapin peut traverser, il fallait que je fasse un tableau de valeur à la calculatrice.

Donc, j'ai essayé de calculer t2-t1 mais je n'y arrive pas du tout =$
voici mon calcul:
( 4tan O +7 / 60 ) - (4 / 30cos O) >0
( 4tan O +7 / 60 * (30cos O) ) - ( 4 / 30cos O*60 ) >0
4tan O * 30cosO +210cos O-240 /1800cos O >0
30 cos O (4 tan +7 cos O) -240 / (30 cos O ) *600> 0
(4 tan +7 cos O) -240 / 600> 0
Merci pour la méthode, j'espère qu'elle me servira et que je la comprendrai, car j'adore les maths et je regrette de n'avoir qu'une culture mathématiques très limitée.
Je vous remercie d'avance, et encore désolé de mon dérangement.


Bonjour,

pour simplifier tes calculs il faut que tu obtiennes les mêmes résultats que Jorius et .
Pour les obtenir tu réalises deux petits tabeleaux de proportionnalités concernant la distance à parcourir et le temps de parcours.
Exemple, pour le camion, il parcourt 60 km en 1 heure soit 50 m en 3 secondes. fais de même pour le lapin !.

Bon courage !et nous sommes là pour te donner un peu d'aide dans les meilleures conditions possibles, merci pour ta gentillesse.
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Re: Le lapin et le camion

Messagepar bouli91 sur Lun 1 Nov 2010, 18:31

bonjour, j'ai le même exo mais je ne trouve pas les bonnes valeur de t1 et t2 ,

je trouve t1= 4/30cosO ET t2=7+(4tan0)/60

pouvez-vous m'aider svp ? merci davence
bouli91
 

Re: Le lapin et le camion

Messagepar Modérateur 11 sur Lun 1 Nov 2010, 20:25

Bonsoir,

Tes valeurs sont correctes au souci d'unité près.

Personnellement je convertirais les distances en m et les durées en secondes ; ainsi en 3600 secondes le lapin parcourt 30000 mètres ; en quel temps parcourra-t-il mètres ?

En

Et tu vas retrouver des résultats vus plus haut.

Bonne suite !
Modérateur 11
 
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